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正交曲线坐标系与矢量算符

从坐标映射与拉梅系数出发，推导线元、面元、体积元、梯度、散度与旋度，并以球坐标系为例。

Credit · Zewei Deng

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  • 数学物理方法
  • 矢量分析
  • 正交曲线坐标系

原文题名：正交曲线坐标系基础

原文日期：2026 年 3 月 21 日

本文由《正交曲线坐标系与矢量算符.pdf》转换为 Markdown，保留原文的章节层级与公式编号（1）至（22）。

目录

  • 1 正交曲线坐标系基础
    • 1.1 正交曲线坐标系与拉梅系数
      • 1.1.1 坐标映射与推移矢量
      • 1.1.2 拉梅系数的定义与物理意义
      • 1.1.3 局部正交基矢的构建
    • 1.2 微元的几何由来
      • 1.2.1 单位线元：全微分的结果
      • 1.2.2 面元：矢量叉乘的几何意义
      • 1.2.3 体积元：标量三重积
    • 1.3 算符的导出：通量与环流密度定义
      • 1.3.1 梯度（Gradient）
  • 2 矢量算符的几何导出
    • 2.1 散度的推导
      • 2.1.1 计算第一个坐标方向的净通量
      • 2.1.2 汇总与最终公式
    • 2.2 旋度的推导
      • 2.2.1 封闭路径积分
      • 2.2.2 环流密度计算
      • 2.2.3 算符通用行列式
  • 3 应用实例：球坐标系
    • 3.1 基矢与拉梅系数计算
    • 3.2 微元表示
    • 3.3 矢量算符公式

1 正交曲线坐标系基础

在电动力学中，为了利用物理系统的对称性（如球对称或轴对称），我们通常需要在非直角坐标系下处理矢量场。假设存在一组正交曲线坐标 (q1,q2,q3)(q_1,q_2,q_3)。

1.1 正交曲线坐标系与拉梅系数

在直角坐标系中，坐标的变化量（如 dx\mathrm{d}x）直接等同于空间中的位移长度。然而，在处理具有球对称或轴对称的物理系统（如点电荷或长直导线）时，我们引入了广义的正交曲线坐标 (q1,q2,q3)(q_1,q_2,q_3)。

在这些坐标系中，坐标分量本身的量纲可能不再是长度（例如球坐标中的角度 θ\theta 和 ϕ\phi）。为了在物理定律中保持欧几里得空间的度量属性，我们需要一套系数来将“坐标的变化”缩放为“真实的物理距离”，这便是拉梅系数的几何本质。

1.1.1 坐标映射与推移矢量

假设空间中任一点的位置矢量为 r\mathbf{r}，它是广义坐标的函数：

r=r(q1,q2,q3)=x(q1,q2,q3)i^+y(q1,q2,q3)j^+z(q1,q2,q3)k^.(1)\begin{aligned} \mathbf{r} &=\mathbf{r}(q_1,q_2,q_3)\\ &=x(q_1,q_2,q_3)\hat{\mathbf{i}} +y(q_1,q_2,q_3)\hat{\mathbf{j}} +z(q_1,q_2,q_3)\hat{\mathbf{k}}. \end{aligned} \tag{1}

当我们让其中一个坐标 qiq_i 发生微小变动 dqi\mathrm{d}q_i，而保持其他坐标不变时，位置矢量的改变方向即为该点的局部坐标轴方向。我们定义推移矢量（Coordinate Tangent Vector）为：

vi=∂r∂qi.(2)\mathbf{v}_i=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_i}. \tag{2}

这个矢量指向 qiq_i 增加的方向，其模长代表了该坐标方向上的“拉伸程度”。

1.1.2 拉梅系数的定义与物理意义

定义 1.1（拉梅系数）：推移矢量 vi\mathbf{v}_i 的模长称为该坐标方向的拉梅系数（Lame Coefficients），通常记作 hih_i：

hi=∣∂r∂qi∣=(∂x∂qi)2+(∂y∂qi)2+(∂z∂qi)2.(3)h_i =\left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_i}\right| =\sqrt{ \left(\frac{\partial x}{\partial q_i}\right)^2 +\left(\frac{\partial y}{\partial q_i}\right)^2 +\left(\frac{\partial z}{\partial q_i}\right)^2 }. \tag{3}

物理理解：拉梅系数本质上是坐标系的“比例尺”。在物理位移 dli=hi dqi\mathrm{d}l_i=h_i\,\mathrm{d}q_i 中：

  • 若 qiq_i 本身具有长度量纲（如 rr），则 hih_i 为无量纲的纯数（通常为 11）。
  • 若 qiq_i 为无量纲量（如角度 θ\theta），则 hih_i 必然具有长度量纲，以保证 dli\mathrm{d}l_i 的单位为米。

1.1.3 局部正交基矢的构建

在正交坐标系中，任何一点的三个推移矢量 v1,v2,v3\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 始终两两垂直。为了方便矢量运算，我们将这些矢量归一化，得到该点处的局部单位正交基：

e^i=vi∣vi∣=1hi∂r∂qi.(4)\hat{\mathbf{e}}_i =\frac{\mathbf{v}_i}{|\mathbf{v}_i|} =\frac{1}{h_i}\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_i}. \tag{4}

注意：与直角坐标系的固定基矢 {i^,j^,k^}\{\hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}\} 不同，曲线坐标系的基矢 {e^1,e^2,e^3}\{\hat{\mathbf{e}}_1,\hat{\mathbf{e}}_2,\hat{\mathbf{e}}_3\} 的方向通常会随着空间位置的改变而改变。在后续推导导数算符时，必须考虑到基矢本身的导数项。

1.2 微元的几何由来

1.2.1 单位线元：全微分的结果

根据多元函数全微分的定义，空间位移矢量 dr\mathrm{d}\mathbf{r} 可以表示为：

dl=dr=∂r∂q1dq1+∂r∂q2dq2+∂r∂q3dq3=h1dq1e^1+h2dq2e^2+h3dq3e^3.(5)\begin{aligned} \mathrm{d}\mathbf{l} =\mathrm{d}\mathbf{r} &=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_1}\mathrm{d}q_1 +\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_2}\mathrm{d}q_2 +\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_3}\mathrm{d}q_3\\ &=h_1\mathrm{d}q_1\hat{\mathbf{e}}_1 +h_2\mathrm{d}q_2\hat{\mathbf{e}}_2 +h_3\mathrm{d}q_3\hat{\mathbf{e}}_3. \end{aligned} \tag{5}

这说明 hih_i 的作用是将“坐标增量”转换为“物理长度增量”。

1.2.2 面元：矢量叉乘的几何意义

在正交坐标系中，由 dqi\mathrm{d}q_i 和 dqj\mathrm{d}q_j 围成的微小面元是一个矩形。利用矢量叉乘的几何意义（两个矢量围成的平行四边形面积及其法向），面元矢量 da\mathrm{d}\mathbf{a} 表示为：

daij=(hidqie^i)×(hjdqje^j)=(hihj dqi dqj)e^k.(6)\begin{aligned} \mathrm{d}\mathbf{a}_{ij} &=(h_i\mathrm{d}q_i\hat{\mathbf{e}}_i) \times(h_j\mathrm{d}q_j\hat{\mathbf{e}}_j)\\ &=(h_i h_j\,\mathrm{d}q_i\,\mathrm{d}q_j)\hat{\mathbf{e}}_k. \end{aligned} \tag{6}

这里 (i,j,k)(i,j,k) 按右手正交基的循环顺序取值。例如，常数 q3q_3 表面的面元为 da3=h1h2 dq1 dq2 e^3\mathrm{d}\mathbf{a}_3=h_1h_2\,\mathrm{d}q_1\,\mathrm{d}q_2\,\hat{\mathbf{e}}_3。

1.2.3 体积元：标量三重积

由三个坐标微元围成的微小体元的体积，等于三个边矢量的标量三重积：

dτ=∣(h1dq1e^1)⋅(h2dq2e^2×h3dq3e^3)∣=h1h2h3 dq1 dq2 dq3.(7)\begin{aligned} \mathrm{d}\tau &=\left| (h_1\mathrm{d}q_1\hat{\mathbf{e}}_1) \cdot\left( h_2\mathrm{d}q_2\hat{\mathbf{e}}_2 \times h_3\mathrm{d}q_3\hat{\mathbf{e}}_3 \right) \right|\\ &=h_1h_2h_3\,\mathrm{d}q_1\,\mathrm{d}q_2\,\mathrm{d}q_3. \end{aligned} \tag{7}

1.3 算符的导出：通量与环流密度定义

1.3.1 梯度（Gradient）

根据方向导数的定义，标量场 ff 的全微分 df=∇f⋅dl\mathrm{d}f=\nabla f\cdot\mathrm{d}\mathbf{l}。对比全微分公式 df=∑i∂f∂qidqi\mathrm{d}f=\sum_i\frac{\partial f}{\partial q_i}\mathrm{d}q_i，可得：

∇f=1h1∂f∂q1e^1+1h2∂f∂q2e^2+1h3∂f∂q3e^3.(8)\nabla f =\frac{1}{h_1}\frac{\partial f}{\partial q_1}\hat{\mathbf{e}}_1 +\frac{1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial q_2}\hat{\mathbf{e}}_2 +\frac{1}{h_3}\frac{\partial f}{\partial q_3}\hat{\mathbf{e}}_3. \tag{8}

2 矢量算符的几何导出

在正交曲线坐标系 (q1,q2,q3)(q_1,q_2,q_3) 中，关键在于所有涉及“长度”的物理量都必须乘上对应的拉梅系数 hih_i。我们考虑一个体积元 dτ=(h1dq1)(h2dq2)(h3dq3)\mathrm{d}\tau=(h_1\mathrm{d}q_1)(h_2\mathrm{d}q_2)(h_3\mathrm{d}q_3)。

2.1 散度（∇⋅A\nabla\cdot\mathbf{A}）的推导

散度定义为单位体积内的净通量。我们计算穿过微元六面体表面的总通量。

2.1.1 计算 q1q_1 方向的净通量

考虑一对垂直于 q1q_1 方向的表面（面积为 dS1=h2h3 dq2 dq3\mathrm{d}S_1=h_2h_3\,\mathrm{d}q_2\,\mathrm{d}q_3）：

后表面（位于 q1q_1 处）：流入通量为该处的场强分量乘以面积。

Φback=−A1(q1,q2,q3)⋅h2(q1,q2,q3)h3(q1,q2,q3) dq2 dq3.(9)\begin{aligned} \Phi_{\mathrm{back}} ={}&-A_1(q_1,q_2,q_3)\\ &{}\cdot h_2(q_1,q_2,q_3)h_3(q_1,q_2,q_3) \,\mathrm{d}q_2\,\mathrm{d}q_3. \end{aligned} \tag{9}

负号表示流入。

前表面（位于 q1+dq1q_1+\mathrm{d}q_1 处）：利用一阶泰勒展开，该处的通量函数 (A1h2h3)(A_1h_2h_3) 变为：

Φfront=[A1h2h3+∂∂q1(A1h2h3) dq1]dq2 dq3.(10)\Phi_{\mathrm{front}} =\left[ A_1h_2h_3 +\frac{\partial}{\partial q_1}(A_1h_2h_3)\,\mathrm{d}q_1 \right]\mathrm{d}q_2\,\mathrm{d}q_3. \tag{10}

q1q_1 方向的净通量：

dΦ1=Φfront+Φback=∂∂q1(A1h2h3) dq1 dq2 dq3.(11)\begin{aligned} \mathrm{d}\Phi_1 &=\Phi_{\mathrm{front}}+\Phi_{\mathrm{back}}\\ &=\frac{\partial}{\partial q_1}(A_1h_2h_3) \,\mathrm{d}q_1\,\mathrm{d}q_2\,\mathrm{d}q_3. \end{aligned} \tag{11}

2.1.2 汇总与最终公式

同理可得 q2,q3q_2,q_3 方向的贡献。总净通量 dΦ=dΦ1+dΦ2+dΦ3\mathrm{d}\Phi=\mathrm{d}\Phi_1+\mathrm{d}\Phi_2+\mathrm{d}\Phi_3。根据散度定义 ∇⋅A=dΦdτ\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}\tau}，其中 dτ=h1h2h3 dq1 dq2 dq3\mathrm{d}\tau=h_1h_2h_3\,\mathrm{d}q_1\,\mathrm{d}q_2\,\mathrm{d}q_3：

∇⋅A=1h1h2h3[∂∂q1(h2h3A1)+∂∂q2(h1h3A2)+∂∂q3(h1h2A3)].(12)\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{A} =\frac{1}{h_1h_2h_3}\Bigg[ &\frac{\partial}{\partial q_1}(h_2h_3A_1)\\ +&\frac{\partial}{\partial q_2}(h_1h_3A_2)\\ +&\frac{\partial}{\partial q_3}(h_1h_2A_3) \Bigg]. \end{aligned} \tag{12}

2.2 旋度（∇×A\nabla\times\mathbf{A}）的推导

旋度的分量定义为单位面积的环流。我们推导其第 33 分量 (∇×A)3(\nabla\times\mathbf{A})_3，即绕 q1−q2q_1-q_2 面回路的环流。

2.2.1 封闭路径积分

考虑由

(q1,q2)⟶(q1+dq1,q2)⟶(q1+dq1,q2+dq2)⟶(q1,q2+dq2)\begin{aligned} (q_1,q_2) &\longrightarrow(q_1+\mathrm{d}q_1,q_2)\\ &\longrightarrow(q_1+\mathrm{d}q_1,q_2+\mathrm{d}q_2)\\ &\longrightarrow(q_1,q_2+\mathrm{d}q_2) \end{aligned}

构成的矩形路径，最后回到起点。

路径 1（沿 q1q_1）：

dΓ1=[A1h1]q2 dq1.\mathrm{d}\Gamma_1=[A_1h_1]_{q_2}\,\mathrm{d}q_1.

路径 2（沿 q2q_2）：

dΓ2=[A2h2]q1+dq1 dq2≈[A2h2+∂∂q1(A2h2) dq1]dq2.\begin{aligned} \mathrm{d}\Gamma_2 &=[A_2h_2]_{q_1+\mathrm{d}q_1}\,\mathrm{d}q_2\\ &\approx\left[ A_2h_2+\frac{\partial}{\partial q_1}(A_2h_2)\,\mathrm{d}q_1 \right]\mathrm{d}q_2. \end{aligned}

路径 3（沿 −q1-q_1）：

dΓ3=−[A1h1]q2+dq2 dq1≈−[A1h1+∂∂q2(A1h1) dq2]dq1.\begin{aligned} \mathrm{d}\Gamma_3 &=-[A_1h_1]_{q_2+\mathrm{d}q_2}\,\mathrm{d}q_1\\ &\approx-\left[ A_1h_1+\frac{\partial}{\partial q_2}(A_1h_1)\,\mathrm{d}q_2 \right]\mathrm{d}q_1. \end{aligned}

路径 4（沿 −q2-q_2）：

dΓ4=−[A2h2]q1 dq2.\mathrm{d}\Gamma_4=-[A_2h_2]_{q_1}\,\mathrm{d}q_2.

2.2.2 环流密度计算

叠加四段路径环流，抵消零阶项后得：

dΓ12=[∂∂q1(A2h2)−∂∂q2(A1h1)]dq1 dq2.(13)\mathrm{d}\Gamma_{12} =\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}(A_2h_2) -\frac{\partial}{\partial q_2}(A_1h_1) \right]\mathrm{d}q_1\,\mathrm{d}q_2. \tag{13}

该回路包围的面积为 da3=h1h2 dq1 dq2\mathrm{d}a_3=h_1h_2\,\mathrm{d}q_1\,\mathrm{d}q_2。由定义 (∇×A)3=dΓ12da3(\nabla\times\mathbf{A})_3=\frac{\mathrm{d}\Gamma_{12}}{\mathrm{d}a_3} 得：

(∇×A)3=1h1h2[∂∂q1(h2A2)−∂∂q2(h1A1)].(14)(\nabla\times\mathbf{A})_3 =\frac{1}{h_1h_2} \left[ \frac{\partial}{\partial q_1}(h_2A_2) -\frac{\partial}{\partial q_2}(h_1A_1) \right]. \tag{14}

2.2.3 算符通用行列式

通过轮换下标，旋度算符可统一表示为：

∇×A=1h1h2h3∣h1e^1h2e^2h3e^3∂∂q1∂∂q2∂∂q3h1A1h2A2h3A3∣.(15)\nabla\times\mathbf{A} =\frac{1}{h_1h_2h_3} \begin{vmatrix} h_1\hat{\mathbf{e}}_1 & h_2\hat{\mathbf{e}}_2 & h_3\hat{\mathbf{e}}_3\\ \dfrac{\partial}{\partial q_1} & \dfrac{\partial}{\partial q_2} & \dfrac{\partial}{\partial q_3}\\ h_1A_1 & h_2A_2 & h_3A_3 \end{vmatrix}. \tag{15}

3 应用实例：球坐标系 (r,θ,ϕ)(r,\theta,\phi)

球坐标与直角坐标的关系为：

x=rsin⁡θcos⁡ϕ,y=rsin⁡θsin⁡ϕ,z=rcos⁡θ.x=r\sin\theta\cos\phi,\qquad y=r\sin\theta\sin\phi,\qquad z=r\cos\theta.

3.1 基矢与拉梅系数计算

根据定义计算拉梅系数：

  • hr=∣∂r∂r∣=1h_r=\left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial r}\right|=1；
  • hθ=∣∂r∂θ∣=rh_\theta=\left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}\right|=r；
  • hϕ=∣∂r∂ϕ∣=rsin⁡θh_\phi=\left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\phi}\right|=r\sin\theta。

直角坐标表示下的基矢：

e^r=sin⁡θcos⁡ϕ i^+sin⁡θsin⁡ϕ j^+cos⁡θ k^.(16)\hat{\mathbf{e}}_r =\sin\theta\cos\phi\,\hat{\mathbf{i}} +\sin\theta\sin\phi\,\hat{\mathbf{j}} +\cos\theta\,\hat{\mathbf{k}}. \tag{16} e^θ=cos⁡θcos⁡ϕ i^+cos⁡θsin⁡ϕ j^−sin⁡θ k^.(17)\hat{\mathbf{e}}_\theta =\cos\theta\cos\phi\,\hat{\mathbf{i}} +\cos\theta\sin\phi\,\hat{\mathbf{j}} -\sin\theta\,\hat{\mathbf{k}}. \tag{17} e^ϕ=−sin⁡ϕ i^+cos⁡ϕ j^.(18)\hat{\mathbf{e}}_\phi =-\sin\phi\,\hat{\mathbf{i}} +\cos\phi\,\hat{\mathbf{j}}. \tag{18}

3.2 微元表示

线元：

dl=dr e^r+r dθ e^θ+rsin⁡θ dϕ e^ϕ.\mathrm{d}\mathbf{l} =\mathrm{d}r\,\hat{\mathbf{e}}_r +r\,\mathrm{d}\theta\,\hat{\mathbf{e}}_\theta +r\sin\theta\,\mathrm{d}\phi\,\hat{\mathbf{e}}_\phi.

面元（常数 rr 表面）：

dar=r2sin⁡θ dθ dϕ e^r.\mathrm{d}\mathbf{a}_r =r^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi\,\hat{\mathbf{e}}_r.

体积元：

dτ=r2sin⁡θ dr dθ dϕ.\mathrm{d}\tau=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi.

3.3 矢量算符公式

将 hih_i 代入通用算符公式。

梯度：

∇f=∂f∂re^r+1r∂f∂θe^θ+1rsin⁡θ∂f∂ϕe^ϕ.(19)\nabla f =\frac{\partial f}{\partial r}\hat{\mathbf{e}}_r +\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial\theta}\hat{\mathbf{e}}_\theta +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial\phi}\hat{\mathbf{e}}_\phi. \tag{19}

散度：

∇⋅A=1(1)(r)(rsin⁡θ)[∂∂r(r2sin⁡θ Ar)+∂∂θ(rsin⁡θ Aθ)+∂∂ϕ(rAϕ)]=1r2∂∂r(r2Ar)+1rsin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ Aθ)+1rsin⁡θ∂Aϕ∂ϕ.(20)\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{A} &=\frac{1}{(1)(r)(r\sin\theta)} \Bigg[ \frac{\partial}{\partial r}(r^2\sin\theta\,A_r)\\ &\qquad\qquad +\frac{\partial}{\partial\theta}(r\sin\theta\,A_\theta) +\frac{\partial}{\partial\phi}(rA_\phi) \Bigg]\\ &=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2A_r) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,A_\theta) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\phi}{\partial\phi}. \end{aligned} \tag{20}

旋度（以 rr 分量为例）：

(∇×A)r=1hθhϕ[∂∂θ(hϕAϕ)−∂∂ϕ(hθAθ)]=1r2sin⁡θ[∂∂θ(rsin⁡θ Aϕ)−∂∂ϕ(rAθ)].(21)\begin{aligned} (\nabla\times\mathbf{A})_r &=\frac{1}{h_\theta h_\phi} \left[ \frac{\partial}{\partial\theta}(h_\phi A_\phi) -\frac{\partial}{\partial\phi}(h_\theta A_\theta) \right]\\ &=\frac{1}{r^2\sin\theta} \left[ \frac{\partial}{\partial\theta}(r\sin\theta\,A_\phi) -\frac{\partial}{\partial\phi}(rA_\theta) \right]. \end{aligned} \tag{21}

简化常数 rr 后得：

(∇×A)r=1rsin⁡θ[∂∂θ(sin⁡θ Aϕ)−∂Aθ∂ϕ].(22)(\nabla\times\mathbf{A})_r =\frac{1}{r\sin\theta} \left[ \frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,A_\phi) -\frac{\partial A_\theta}{\partial\phi} \right]. \tag{22}

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